غیرخطی۵۳[۳۰] است. این لاگرانژیها تابعی از لاگرانژی ماکسول،، هستند که در حد به خودِ لاگرانژی ماکسول میل میکنند. با بسط دادن لاگرانژیها حول های بزرگ خواهیم داشت
(۳-۲-۳)
که مشاهده میشود همگی به لاگرانژی ماکسول میل میکنند. به لاگرانژی‌هایی که بسط‌شان برای های بزرگ دارای جملاتی از مرتبه‌ی به بعد باشند لاگرانژیهای شبه بورن-اینفلد می‌گوییم. این‌گونه کلاسهای شبه بورن-اینفلد می‌توانند دینامیک میدانهای الکترومغناطیسی را در-لایه‌ها توضیح دهند.
۳-۲-۱ معادلات میدان در نظریه الکترودینامیک غیرخطی
بررسی مدلهایی که برای حل مشکل خودانرژی طراحی میشوند، نشان میدهد که این مدلها عموماً از اصل برهمنهیخطی پیروی نمیکنند. در واقع رابطه تنگاتنگی بین مسئلهی محدود شدن خودانرژی و مسئلهی غیرخطیشدن میدانها وجود دارد که توسط یک مدلِ میدان کلاسیکی بیان میشود. بدین صورت که وقتی مطالعاتمان را به وضعیتهای زیراتمی گسترش دهیم انحراف از برهمنهش خطی، به عنوان نتیجهی فرضِ محدود بودنِ خودانرژی ذرات نقطهای باردار، رخ میدهد. در این بخش، این غیرخطیشدن برای سه کلاس از الکترودینامیک غیرخطی بررسی میشود.
معادلات ماکسول در خلاء برحسب میدانهای و خطی هستند اما وضعیتهایی نیز وجود دارد که اثرات غیرخطی رخ میدهد. این اثرات ناشی از پاسخ ماده به میدانها میباشند که با معادلات ساختمندی مناسب توضیح داده میشوند. به عبارت دیگر میدانها ذاتاً رفتاری خطی دارند ولی رفتار محیط در پاسخ به این میدانها غیرخطی خواهد بود. همچنین کمیتهای گذردهی الکتریکی و تراوائی مغناطیسی محیط نردهای نخواهند بود و باید بصورت تانسوری بیان شوند. در این پایان‌نامه ما به وضعیتهای مطابق با شرایط خلاء، برای مثال میدانهای درون فضای بین ستارهای یا درونِ اتمها و هستهها علاقهمند هستیم. وضعیتهایی که در آن رفتار محیط خطی و غیرپاشنده است ولی ممکن است میدانها ذاتاً غیرخطی باشند. به دیگر سخن،و رسانندگی الکتریکی به طور صریح به مقدار میدان یا زمان بستگی نداشته باشند. بنابراین با این انگیزه که ممکن است رفتار ذاتی میدانها غیرخطی باشد به مطالعهی تصحیحاتِ غیرخطی ناشی از نظریه های الکترودینامیک غیرخطی میپردازیم. لازم به ذکر است تمام آزمایشها تاکنون اصلِ برهمنهش خطی را تا دقتِ یک صدم درصد تأیید کردهاند و هیچ دلیل کاملاً قانع کنندهای برای کنار گذاشتن این اصل در دست نداریم. حتی هنوز در سطحِ اتمی، برهمنهش خطی به طور قابل ملاحظهای معتبر باقی مانده است [۲۷]. همچنین این نظریه ها پراکندگی نور-نور (موج-موج) را پیشبینی میکنند. چنین پیشبینیای نیز در الکترودینامیک کوانتومی رخ میدهد که محاسبات مربوط به آن در مرجع [۳۱] انجام گرفته است.
با احتساب جملهی مربوط به منبع بار در کُنش (۳-۲-۱)، با وردش کُنش نهایی نسبت به میدان پیمانهای در فضازمانی ۱+۳ بُعدی با پیکربندی مینکوفسکی، معادلات میدان الکترومغناطیسی غیرخطی به صورت زیر بدست میآیند
(۳-۲-۳)
که در آن و بقیه نمادها معرف کمیتهای مرسوم در نظریه الکترومغناطیس ماکسول هستند. در واقع برای تمام مدل‌های الکترودینامیک غیرخطی به چنین شکلِ کلی‌ای برای مجموعه معادلات میدان الکترومغناطیسی غیرخطی میرسیم. در به‌دست آوردن مجموعه معادلات میدان غیرخطی فرض شده است که محیط همگن و همسانگرد است یعنی و کمیتهای نردهای ثابتی هستند و بنابراین روابط ساختمندی به‌صورت و ساده شده‌اند. چون به وضعیت ذاتی میدانها و امواج در شرایط خلاء علاقهمند هستیم، بنابراین با کردن در دستگاه یکاهای طبیعی خواهیم داشت و . میدان الکتریکی ، از مجموعه معادلاتِ دیفرانسیلی میدانِ غیرخطی
(۳-۲-۴)
برای یک بارِ نقطهای به صورتِ زیر به دست میآید
(۳-۲-۵)
که در مدل برای تابع لَمبرت۵۴ داریم ۵۵٫ با بسط دادن اندازه‌ی میدانِ الکتریکی برای هر سه کلاس حولِ های بزرگ خواهیم داشت
(۳-۲-۶)
که جملهی اول در هر سه کلاس، میدان الکتریکی ناشی از یک بار نقطهای در نظریه ماکسول است و مابقی جملات تصحیحاتِ ناشی از غیرخطی بودن نظریه هستند. همچنین با بسط دادن میدانهای غیرخطی الکتریکی برای فواصل بسیار بزرگ دوباره به رابطه‌ی () میرسیم و بنابراین هر سه مدل به حد میدان ماکسولی میل میکنند. برای بررسی شدتِ میدان در مبدأ بارِ نقطهای حد سه میدان را می‌یابیم
(۳-۲-۷)
رابطه‌ی بالا نشان می دهد که لاگرانژیهای کلاسِ و واگرایی میدان الکتریکی را در از بین میبرند و مسئله خود انرژی بارها را به صورت کلاسیکی حل میکنند. ولی لاگرانژی ، واگرایی میدان الکتریکی را در از بین نمیبرد، اما شدتِ این تکینگی بسیار ضعیفتر از مشابه آن در نظریه ماکسول است. در واقع الکترودینامیک نمائی دارای رفتاری مابین میدان نظریه‌های ماکسول ومیدان بورن-اینفلد است. شکلهای ۳-۱ رفتار میدانها را برای سه کلاس متفاوت نمایش می دهد. لازم به ذکر است که شدت واگرایی میدان الکتریکی بار نقطهای در نظریه ماکسول به قدری شدید است که در مقیاسهای شکلهای ۳-۱ قابل نمایش نیست.
شکل ۳-۱ : تغییرات بر حسب. شکل سمت چپ به ازای مقادیر و . شکل میانی به ازای مقادیر و ؛ دیده میشود که با افزایش سه مدل در فاصلهی مکانی خیلی کوچک برهم منطبق میشوند. شکل سمت راست رفتار در نزدیکی مبدأ به ازای مقادیر و را نشان میدهد.
۳-۲-۲ محاسبه‌ی شدت میدان مطلق
از آن‌جایی‌که کلاس
های و بدون واگرایی در مقدار خودانرژی هستند بنابراین میتوان مقدار میدان مطلق را بر حسب ثابت‌های بنیادی فیزیک به‌دست آورد. برای یک الکترون ساکن در مدل میتوان انرژی میدان الکتروستاتیکی را به صورت زیر، از طریق میدان الکتریکی به‌دست آمده در رابطه‌ی (۳-۲-۵)، محاسبه نمود
(۳-۲-۸)
که در آن از تغییر متغیر استفاده شده است. با مساوی قرار دادن انرژی میدان با جرم سکون الکترون خواهیم داشت: ، که همان شعاع کلاسیک الکترون است و البته این‌جا دیگر نقش شعاع کلاسیک را بازی نمی‌کند و مقدار عددی آن در بخش اول به صورت به دست آمد. بنابراین خواهیم داشت ، و برای مقدارِ میدانِ مطلق بر حسب یکاهای ، مقدار زیر را به دست میآوریم
(۳-۲-۹)
برطبق نظریه الکترودینامیک غیرخطی چنین مقدار عظیمی برای پارامتر غیرخطی یک حد بالا برای میدان الکترون محسوب میشود. لازم به ذکر است که تصحیحات ناشی از یک پارامتر بزرگ از مرتبه‌ی خواهد بود و بنابراین مشاهده‌ی تصحیحات غیرخطی میدانها بسیار دشوار به نظر میرسد. در نتیجهی این ملاحظات دو مدل و تصویر ایده‌آلی بار نقطهای را به خوبی حفظ میکنند.
۳-۲-۳ معادلاتِ موج در نظریه های الکترودینامیک غیرخطی
حال به بررسی معادلات معرف موج در نظریه‌های الکترودینامیک غیرخطی میپردازیم. با بهره گرفتن از مجموعه معادلاتِ میدان(۴)، معادلات معرف موج الکترومغناطیسی غیرخطی را، با فرض خوشرفتار بودن میدانهای و غیرخطی (برای تعویض ترتیب مشتقگیری زمانی و مکانی و تشکیل معادلات موج)، در غیاب بارهای آزاد با بهره گرفتن از رابطه تعمیم یافتهی به صورت زیر بدست میآوریم
(۳-۲-۱۰)
به دلیل وجود کمیت در معادلاتِ موج مربوطه، بر خلاف الکترومغناطیس ماکسول، دو معادلهی موج جداشدنی برای و نخواهیم داشت. چون به وضعیت ذاتی میدانها و امواج در شرایط خلاء علاقهمند هستیم رسانندگی برابر صفر خواهد شد بنابراین در شرایط خلاء کامل به معادلات زیر خواهیم رسید
(۳-۲-۱۱)
با تغییر متغیرهای و به معادلهی موج همگن مرتبه دوم خطی میرسیم که مشابه معادلهی موج یک ریسمان مرتعش است. این نوع از معادلات موج، با شرایط مرزی مشخص، دارای جواب هستند ولی هنوز به علت وجود کمیت دو معادله موج برای و جفتشده هستند که وجود جوابهای تحلیلی را مشکل می کند. بررسی عددی این معادلات نیز تحلیل مفصلی را میطلبد. در حد ضعیفِ میدان غیرخطی () معادلات موج همگن مرتبه دوم خطی () به صورت زیر در میآیند
(۳-۲-۱۱)
که در آن برای کلاسهای، و به ترتیب برابر ، و میباشد. مشاهده میشود جملات اول در معادلات، همان معادله موج ماکسول در شرایط خلاء کامل و سایر جملات تصحیحات ناشی از غیرخطی بودن نظریه هاست. جملات تصحیحی تابعی بر حسب ناوردای ماکسول هستند و مشاهده میشود درحد همچنان جفتشدگی برای میدانها باقی میماند. با توجه به بزرگ بودن پارامتر معادلات موج ماکسول و اصل برهمنهیخطی با دقت بسیار بالایی برقرار خواهند بود.
۳-۳ جمعبندی
تصحیحات ناشی از غیرخطی بودن سه کلاس از نظریه های الکترودینامیک غیرخطی در میدانِ الکتروستاتیک و معادلات موج مربوط به آن نشان داده شد. با فرض متناهی شدن خودانرژی برای ذرات باردارِ نقطهای به نتیجهی غیرخطی شدن میدانها و در نتیجه انحراف از اصل برهمنهی خطی رسیدیم. این غیرخطی شدن، معادلات موج را طوری جفت میکند که یافتن جواب تحلیلی بعید به نظر میرسد. لذا باید در جستجوی حل عددی معادلات باشیم. از سوی دیگر، بسیار جالب خواهد بود اگر برای این نوع از نظریه های میدان غیرخطی الکترومغناطیسی، اصلی به صورت اصلِ برهمنهی تعمیمیافته ارائه شود. چنین اصلی پراکندگی نور- نور (یا به طور بهتر موج- موج) را پیشبینی میکند که در تناظر با پیشبینی الکترودینامیک کوانتومی است. به دلیل خطی بودن نظریه ماکسول و تبعیت از اصل برهمنهی خطی، پراکندگی نور- نور رخ نمیدهد اما به عنوان یک پیشبینی در الکترودینامیک کوانتومی باقی میماند که در حوزهی فیزیک کوانتومی بهتر است به آن پراکندگی فوتون- فوتون اطلاق شود. از آن‌جایی که در این تحقیق می‌خواهیم اثرات میدانهای الکترومغناطیسی غیرخطی را بر روی فیزیکِ سیاه‌چاله‌ها و لایه‌های سیاه بررسی کنیم باید تمامی معادلات میدان و حل‌های این فصل را به ابعاد بالا گسترش دهیم. این کار در فصل پنجم انجام خواهد شد.
فصل چهارم
ترمودینامیک سیاه‌چاله‌ها در گرانش لاولاک
از آنجا که هنوز ارتباط رضایتبخشی بینِ دو چارچوبِ نظری نسبیت عام و مکانیک کوانتومی پیدا نشده است انتظار میرود، در اولین قدم، به سیستمی نیاز داشته باشیم که هر دو رفتار کوانتومی و گرانشی -به منزلهی یک میدانِ کلاسیکی- را داشته باشد و سپس به بررسی رفتار این سیستم بپردازیم. سیاهچاله ها، از لحاظ نظری، دارای چنین خصوصیاتی هستند. همانطور که در این فصل نشان داده میشود یک تناظر بحثبرانگیز میان قوانین حاکم بر سیاهچاله ها و ترمودینامیک سیستمها در طبیعت وجود دارد. از آنجا که قوانین مرسوم ترمودینامیک در طبیعت از یک منشأ مکانیک (کوانتومی) آماری نشأت میگیرند طبیعی است از خود بپرسیم که آیا ترمودینامیکی که برای سیاهچاله ها بر مبنای نظریه نسبیت عام نوشته میشود، و صرفاً از شرایط هندسی فضازمان ناشی میشود، حاوی اطلاعاتی در مورد یک منشأ کوانتومی برای گرانش یا هندسهی فضازمان است؟ از اینرو انتظار
میرود که فهم دقیق فیزیک سیاهچاله ها کلیدی برای درکِ یک نظریهی گرانش کوانتومیِ احتمالی باشد. در این فصل ابتدا چهار قانون اساسی ترمودینامیک را با منشاء آماری بیان میکنیم و سپس به بررسی تناظرِ ترمودینامیک (مکانیک) سیاهچاله ها با قوانین ترمودینامیکِ مرسوم میپردازیم. در ادامه با بیان آنتروپی والد و رابطه گیبس-دوهِم به بررسی ترمودینامیک سیاهچاله ها در گرانش لاولاک میپردازیم.
۴-۱ ترمودینامیک سیستمها در طبیعت
قوانین ترمودینامیک یک سیستم (در طبیعت) را میتوان به عنوان یک حالت حدی از سر هم جمع کردن آمار و مکانیکِ ذرات تشکیل دهندهی سیستم مورد نظر به دست آورد. این مطالعات در شرایط تعادل انجام میگیرند. این شرط بیان میکند که اگر سیستمی در حالت تعادل باشد تمام میکروحالتهای کوانتومی خاص متناظر با ماکروحالتِ سیستم، برای کسب حالت سیستم، دارای احتمال یکسانی هستند. تعداد میکروحالتهای میکروسکوپی متناظر با ماکروحالت سیستم را با نمایش میدهیم. اگر یک سیستم غیرتعادلی را به طور کامل از جهان اطرافش منزوی کنیم، با
